Normální rozdělení je teoretický model schopný uspokojivě aproximovat hodnotu náhodné proměnné ideální situaci.
Jinými slovy, normální rozdělení odpovídá náhodné proměnné funkci, která závisí na střední hodnotě a směrodatné odchylce. To znamená, že funkce a náhodná proměnná budou mít stejné zastoupení, ale s malými rozdíly.
Spojitá náhodná proměnná může nabrat jakékoli reálné číslo. Například výnosy akcií, výsledky testů, IQ a standardní chyby jsou spojité náhodné proměnné.
Diskrétní náhodná proměnná přebírá přirozené hodnoty. Například počet studentů na univerzitě.
Normální rozdělení je základem pro další rozdělení, jako je Studentovo rozdělení t, rozdělení chí-kvadrát, Fisherovo rozdělení F a další rozdělení.
Vzorec normálního rozdělení
Vzhledem k náhodné proměnné X říkáme, že frekvenci jejích pozorování lze uspokojivě přiblížit normálnímu rozdělení tak, že:
Pokud jsou parametry rozdělení střední nebo střední hodnota a směrodatná odchylka:
Jinými slovy, říkáme, že frekvence náhodné proměnné X může být reprezentována normálním rozdělením.
Zastoupení
Funkce hustoty pravděpodobnosti náhodné proměnné, která následuje po normálním rozdělení.
Vlastnosti
- Jedná se o symetrické rozdělení. Hodnota průměru, mediánu a režimu se shoduje. Matematicky,
Průměr = Medián = Režim
- Unimodální distribuce. Hodnoty, které jsou častější nebo se pravděpodobněji objeví, jsou průměrné. Jinými slovy, když se vzdálíme od průměru, pravděpodobnost výskytu hodnot a jejich frekvence klesá.
Co potřebujeme k reprezentaci normálního rozdělení?
- Náhodná proměnná.
- Vypočítejte průměr.
- Vypočítejte směrodatnou odchylku.
- Rozhodněte o funkci, kterou chceme reprezentovat: funkci hustoty pravděpodobnosti nebo distribuční funkci.
Teoretický příklad
Předpokládáme, že chceme vědět, zda mohou výsledky testu uspokojivě aproximovat normální rozdělení.
Víme, že se tohoto testu účastní 476 studentů a že výsledky se mohou pohybovat od 0 do 10. Vypočítáme průměr a směrodatnou odchylku od pozorování (výsledky testu).
Takže definujeme náhodnou proměnnou X jako skóre testu, které závisí na každém jednotlivém výsledku. Matematicky,
Skóre každého studenta je zaznamenáno v tabulce. Tímto způsobem získáme globální vizi výsledků a jejich četnosti.
| Výsledek | Frekvence |
| 0 | 20 |
| 1 | 31 |
| 2 | 44 |
| 3 | 56 |
| 4 | 64 |
| 5 | 66 |
| 6 | 62 |
| 7 | 51 |
| 8 | 39 |
| 9 | 26 |
| 10 | 16 |
| CELKOVÝ | 476 |
Jakmile je tabulka hotová, představujeme výsledky vyšetření a frekvence. Pokud graf vypadá jako předchozí obrázek a splňuje vlastnosti, lze proměnnou výsledků testu uspokojivě přiblížit normálnímu rozdělení střední hodnoty 4,8 a standardní odchylce 3,09.
Mohou se výsledky testu blížit normálnímu rozdělení?
Důvody pro uvážení, že proměnná výsledků testu sleduje normální rozdělení:
- Symetrické rozdělení. To znamená, že existuje stejný počet pozorování vpravo i vlevo od centrální hodnoty. Rovněž střední hodnota, střední hodnota a režim mají stejnou hodnotu.
Průměr = Medián = Režim = 5
- Pozorování s největší frekvencí nebo pravděpodobností se pohybují kolem centrální hodnoty. Jinými slovy, pozorování s menší frekvencí nebo pravděpodobností jsou daleko od centrální hodnoty.
Normální rozdělení popisuje náhodnou proměnnou aproximací, která produkuje standardní chyby (pruhy nad každým sloupcem). Tyto chyby jsou rozdílem mezi skutečnými pozorováními (výsledky) a hustotní funkcí (normální rozdělení).
