Vlastnosti odhadců

Vlastnosti odhadů jsou vlastnosti, které mohou mít, a které slouží k výběru těch, které jsou schopny přinést dobré výsledky.

Začneme definováním pojmu odhadce, řekneme, že vzhledem k libovolnému náhodnému vzorku (x₁, X₂, X₃,…, X_n) odhad představuje populaci, která závisí na φ parametru, který neznáme.

Tento parametr, který označujeme řeckým písmenem fi (φ), může být například průměrem libovolné náhodné proměnné.

Matematicky jeden parametr Q odhad je závislý na náhodných pozorováních ve vzorku (x₁, X₂, X₃,…, X_n) a známá funkce (h) vzorku. Odhadovač (Q) bude náhodná proměnná, protože závisí na vzorku, který obsahuje náhodné proměnné.

Q = h (x₁, X₂, X₃,…, X_n)

Nestrannost odhadce

Q odhadce φ je nestranný odhad, pokud E (Q) = φ pro všechny možné hodnoty φ. Definujeme E (Q) jako očekávanou hodnotu nebo očekávání odhadce Q.

V případě zkreslených odhadů by toto zkreslení bylo reprezentováno jako:

Bias (Q) = E (Q) - φ

Vidíme, že zkreslení je rozdíl mezi očekávanou hodnotou odhadce, E (Q), a skutečnou hodnotou parametru populace, φ.

Účinnost odhadce

Ano Q₁ a Q₂ jsou dva nezaujaté odhady φ, jejich vztah s Q bude efektivní₂ když Var (Q₁) ≤ Var (Q₂) pro jakoukoli hodnotu φ, pokud je statistický vzorek φ přísně větší než 1, n> 1. Kde Var je rozptyl an je velikost vzorku.

Intuitivně řečeno, za předpokladu, že máme dva odhady s objektivní vlastností, můžeme říci, že jeden (Q₁) je účinnější než jiné (Q₂) pokud je variabilita výsledků jednoho (Q₁) je menší než u ostatních (Q₂). Je logické si myslet, že jedna věc, která se liší více než jiná, je méně „přesná“.

Proto můžeme toto kritérium použít pro výběr odhadů, pouze když jsou nestranné. V předchozím prohlášení, když definujeme účinnost, již předpokládáme, že odhady musí být nestranné.

Chcete-li porovnat odhady, které nemusí být nutně nestranné, to znamená, že může existovat zkreslení, doporučuje se vypočítat střední chybu čtverce (MSE) odhadů.

Pokud je Q odhadem φ, pak je ECM Q definována jako:

Střední kvadratická chyba (MSE) vypočítá průměrnou vzdálenost, která existuje mezi očekávanou hodnotou odhadce vzorku Q a odhadcem populace. Kvadratická forma ECM je způsobena skutečností, že chyby mohou být ve výchozím nastavení záporné nebo nadměrné kladné s ohledem na očekávanou hodnotu. Tímto způsobem bude ECM vždy počítat kladné hodnoty.

ECM závisí na rozptylu a zkreslení (pokud existují), což nám umožňuje porovnat dva odhady, když je jeden nebo oba zkreslené. Ten, jehož NDE je větší, bude chápán jako méně přesný (má více chyb), a proto méně účinný.

Konzistence odhadce

Konzistence je asymptotická vlastnost. Tato vlastnost se podobá vlastnosti účinnosti s tím rozdílem, že konzistence měří pravděpodobnou vzdálenost mezi hodnotou odhadce a skutečnou hodnotou parametru populace, jak se velikost vzorku zvyšuje na neurčito. Toto neurčité zvětšení velikosti vzorku je základem asymptotické vlastnosti.

K provedení asymptotické analýzy existuje minimální rozměr vzorku (při zvyšování vzorku zkontrolujte konzistenci odhadce). Velké aproximace vzorků fungují dobře pro vzorky přibližně 20 pozorování (n = 20). Jinými slovy, chceme vidět, jak se odhadovatel chová, když zvětšíme vzorek, ale toto zvýšení má sklon k nekonečnu. Vzhledem k tomu provedeme aproximaci a z 20 pozorování ve vzorku (n ≥ 20) je vhodná asymptotická analýza.

Matematicky definujeme Q₁n jako odhadce φ z libovolného náhodného vzorku (x₁, X₂, X₃,…, X_n) velikosti (n). Můžeme tedy říci, že Q_n je konzistentní odhadce φ, pokud:

To nám říká, že rozdíly mezi odhadcem a jeho populační hodnotou | Q_n - φ |, musí být větší než nula. Z tohoto důvodu to vyjadřujeme v absolutní hodnotě. Pravděpodobnost tohoto rozdílu má tendenci k 0 (zmenšuje se a zmenšuje), když velikost vzorku (n) má sklon k nekonečnu (zvětšuje se a zvětšuje se).

Jinými slovy, je stále méně pravděpodobné, že Q_n když se zvětší velikost vzorku, pohybuje se příliš daleko od φ.